Pridaj na:
Facebook |
Twitter |
Vybrali.sme
Kvadratická funkcia
Kvadratickou funkciou nazývame každú funkciu
f: y = ax2 + bx + c, kde a≠0, a, b, c ∈ R
Ak by sme použili koeficienty a = 1, b = c = 0, tak by sme dostali kvadratickú funkciu
f: y = x2,
ktorá je často nazývaná základná kvadratická funkcia. Neskôr sa k tejto funkcii ešte vrátime.
Skôr ako sa pustíme do riešenia konrétnych zadaní, spravíme si malé predstavenie kvadratickej funkcie - jej grafu a vlastností.
Graf kvadratickej funkcie:
Grafom každej kvadratickej funkcie je krivka, ktorú nazývame parabola. Parabola je súmerná podľa osi o rovnobežne so súradnicovou osou y. Jej tvar vidíte nižšie na obrázku.
Graf kvadratickej funkcie f: y = x2 - 4x + 5
Bod V[2; 3] na obrázku je v tomto prípade minimom funkcie a nazývame ho vrchol paraboly.
Pri určovaní súradníc vrchola V môžeme postupovať dvoma spôsobmi:
- úpravou na štvorec, kde využijeme v pozmenenom tvare vzťah (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
- (a ± b)2 - b2 = a2 ± 2ab (o chvíľu si to ukážeme na konkrétnom príklade)
- alebo rýchlejšiu formu - zapamätať si že x-ová súradnica vrchola je -b/2a a y-ovú súradnicu dopočítame dosadením do predpisu funkcie
- V[-b/(2a); f(-b/(2a))]
A ako určíme priesečník s y-ovou osou?
Ak máme predpis kvadratickej funkcie upravený na tvar: y = ax2 + bx + c, tak priesečník s osou y Py = [0; c].
Ak si to nezapamätáte, tak používajte už naučené: Py=[0;y] a y-ovú súradnicu priesečníka určíme dosadením čísla 0 za x do predpisu kvadratickej funkcie.
Skúste prejsť na Kreslič kvadratickej funkcie a nakresliť grafy funkcií f: y = x2 - 4x + 5 a g: y = -x2 - 4x + 5.
Zmenil sa graf funkcie? Ako? Skúste porovnať predpisy oboch funkcií, čím sa líšia?
Čo potrebujeme vedieť pri náčrte kvadratickej funkcie?
Ak potrebujeme iba jednoduchý náčrt kvadratickej funkcie, tak potrebujeme poznať:
- tvar paraboly
- vrchol paraboly
- priesečník Py so súradnicovou osou y
Zdá sa vám, že sme ešte nespomínali tvar paroboly?
Predpokladám, že ste boli všetci šikovní a pri vykreslení oboch parabol v Kresliči kvadratickej funkcie ste zistili, že pre a>0 je tvar ∪ a pre a<0 máme tvar ∩.
A teraz ukážkový príklad.
Príklad 1:
Načrtnite graf funkcie f: y = x2 - 2x + 3.
Riešenie:
Povedali sme si, že potrebujeme vedieť tvar, súradnice vrchola a priesečník s osou y.
Vypíšme si všetky koeficienty:
a = 1; b = -2; c = 3
Keďže koeficient a = 1, tak tvar už máme ... ∪
V = [-b/(2a); f(-b/(2a))] ... -b/(2a) = -(-2)/(2·1) = 1
-b/(2a) = -(-2)/(2·1) = 1 f(-b/(2a)) = 12 - 2·1 + 3 = 2
Teda V = [1; 2]
Py = [0; c] = [0; 3]
... a načrtneme graf
A ako by sme určili súradnice vrchola „úpravou na štvorec“?
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 /-b2
a2 - 2ab = (a - b)2 - b2
Z predpisu y = x2 - 2x + 3 teda podľa vyššie uvedeného pozmeného vzťahu upravíme časť x2 - 2x.
y = x2 - 2x + 3 = (x - 1)2 - 1 + 3 = (x - 1)2 + 2
x-ová súradnica vrchola je taká hodnota premennej x, kde x - 1 = 0 teda xV = 1
y-ová súradnica vrchola je číslo za zátvorkou teda yV = 2
Takže V = [1; 2].
O vlastnostiach kvadratickej funkcie (monotónnosť, ohraničenosť, parita, extrémy, ...) si povieme nabudúce.
Prihláste sa na Odber noviniek
Vyhľadať na Pohodovej matematike
Reklama na Pohodovej matematike
Sedací vak SOFA je cool
Citát
Mám vynikajúcu pamät, lenže krátku.
Fernandel
