Pridaj na:
Facebook |
Twitter |
Vybrali.sme
Rovnosť funkcií
O dvoch funkciách f a g hovoríme, že sú si rovné práve vtedy, keď definičný obor funkcie f a definičný obor funkcie g sú tie isté množiny a pre každé x∈D(f) platí: f(x)=g(x).
Rovnosť dvoch funkcií f a g zapisujeme: f = g
O funkciách, ktoré nie sú si rovné hovoríme, že sú rôzne a zapisujeme f≠g.
Teraz si uvedieme príklady funkcií, ktoré sa rovnajú a tiež funkcií, ktoré sú rôzne.
Príklad 1:
Sú dané funkcie f: y = (x - 1)2 a g: y = x - 1. Zistite, či platí rovnosť f = g.
Riešenie:
Už vieme, že prvou podmienkou rovnosti funkcií f, g je rovnosť ich definičných oborov. Zistíme teda D(f) a D(g).
Je zrejmé, že D(f) = R a D(g) = R, čiže D(f) = D(g)
Zatiaľ by sa mohlo zdať, že rovnosť funkcií skutočne platí, ale ... nesmieme zabudnúť na druhú podmienku.
Keďže pre každé x∈D(f) musí platiť f(x)=g(x), tak stačí nájsť jediné x, pre ktoré táto podmienka neplatí a môžeme hovoríť, že funkcie sú rôzne.
Podarí sa nám to? Skúsme.
x = 2 ... f(2) = 1 ... g(2) = 1 ... f(x)=g(x)
x = 4 ... f(4) = 3 ... g(2) = 3 ... f(x)=g(x)
x = 7 ... f(7) = 6 ... g(2) = 6 ... f(x)=g(x)
Vyzerá to tak, že pre kladné čísla x podmienka platí. Vyskúšame záporné čísla?
x = -2 ... f(-2) = (-2 - 1)2 = (-3)2 = 9 = 3 ... g(-2) = -2 - 1 = -3 ... f(x)≠g(x)
A ďalej nepotrebujeme skúšať. Už teraz môžeme povedať, že
f≠g
Mohli by sme samozrejme využiť i svoje vedomosti o definičných oboroch, oboroch hodnôt a odmocninách. Vieme, že druhá odmocnina z nezáporného čísla je definovaná ako nezáporné číslo, preto funkcia f môže nadobúdať iba hodnoty väčšie alebo rovné 0. Naproti tomu funkcia g môže nadobúdať i záporné hodnoty a to je dôvod nerovnosti funkcií.
Príklad 2:
Sú dané funkcie h: y = (x - 1)2 a g: y = |x - 1|2. Zistite, či platí rovnosť h = g.
Riešenie:
Opäť je zrejmé, že D(h) = R a D(g) = R, čiže D(h) = D(g)
Platí aj druhá podmienka?
Vieme, že platí: |a| = a pre a ≥0 a |a| = -a pre a <0. Preto budeme uvažovať 2 prípady:
1. x - 1 ≥ 0
h(x) = (x - 1)2
g(x) = |x - 1|2 = (x - 1)2 ... h(x) = g(x)
2. x - 1 < 0
h(x) = (x - 1)2
g(x) = |x - 1|2 = (-(x - 1))2 = (x - 1)2 ... h(x) = g(x)
V oboch prípadoch platí h(x) = g(x), preto
h = g
Prihláste sa na Odber noviniek
Vyhľadať na Pohodovej matematike
Reklama na Pohodovej matematike
Sedací vak SOFA je cool
Citát
Vzdelanie má horké korienky, ale sladké ovocie.
Aristoteles
