Pridaj na:
Facebook |
Twitter |
Vybrali.sme
Lineárne rovnice, riešenie lineárnych rovníc
Lineárnou rovnicou s neznámou x nazývame každú rovnicu tvaru ax + b = 0, kde a, b sú reálne čísla a a ≠ 0.
Pri riešení môžu nastať 3 prípady:
- ak a≠0, potom ax = -b a rovnica má práve jeden koreň x = -b/a;
- ak a = b = 0, po úprave dostaneme 0 = 0 a to je pravdivý výrok (rovnosť), takže pôvodná rovnica má nekonečne veľa riešení resp. koreňom tejto rovnice je každé reálne číslo;
- ak a = 0, b ≠ 0, po úprave dostaneme 0 = -b, a keďže b ≠ 0, tak sme dostali nepravdivú rovnosť - pôvodná rovnica nemá žiadne riešenie.
Príklad 1:
Riešte rovnicu
s neznámou x ∈ R.
Riešenie:
Teda množina riešení danej rovnice je P = {-2}.
Môžeme si po krokoch povedať, ako sme postupovali:
- najskôr odstránime zátvorky - v našom prípade vynásobením;
- nezabudnite, že násobíme každý člen výrazu v zátvorke;
napr. 2 · (3x - 7) - 5 = 6x - 14 - 5, teda násobím len výraz v zátvorke;
je to akoby sme prečítali „dva krát zátvorka mínus päť“
ale 2 · (3x - 7 - 5) = 6x - 14 - 10 = 6x - 24, násobíme aj číslo -5, lebo sa nachádza v zátvorke
- odstránime zlomky (alebo zjednodušíme ľavú a pravú stranu rovnice a zlomky odstránime neskôr - ako v predchádzajúcom príklade);
zlomky odstránime tak, že ľavú aj pravú stranu rovnice násobíme najmenším spoločným násobkom všetkých menovateľov (pozrite: hľadanie najmenšieho spoločného násobku dvoch čísel)
- zjednodušíme obe strany rovnice a následne presunieme jednočleny s neznámou na jednu stranu rovnice ( vyberiem si ľavú alebo pravú ) a čísla na druhú stranu
- opäť zjednodušíme a následne celú rovnicu delíme koeficientom pred neznámou, v našom prípade to bolo číslo -6;
- skúšku správnosti prevedieme dosadením výsledku do zadania
- ak sa Ľ = P, tak zapíšeme riešenie v tvare napr. K={-2} resp. P={-2}.
A teraz ešte niekoľko riešených príkladov
Ak sa vám prvý príklad zdal náročný, tak nasledovné začnú od najjednoduchších.
Príklad 2:
Riešte rovnicu 5x - 3 = 7
Riešenie:
| 5x - 3 = | 7 | /+3 |
| 5x = | 10 | / :5 |
| x = | 2 |
Skúška správnosti:
Ľ = 5 · 2 - 3 = 10 - 3 = 7
P = 7
Ľ = P
Teda množina riešení danej rovnice je P = {2}.
Príklad 3:
Riešte rovnicu 2x - 7 = 5x + 9
Riešenie:
| 2x - 7 = | 5x + 9 | / -5x +7 |
| 2x - 5x = | 9 + 7 | |
| -3x = | 16 | / :(-3) |
| x = | -
 |
Skúška:
Ľ = 2 · (-
) - 7 = -
- 7 = -
P = 5 · (-
) + 9 = -
+ 9 = -
Ľ = P
Teda množina riešení danej rovnice je P = {-
}.
Príklad 4:
Riešte rovnicu:
a - 7 = -
+ 3a
Riešenie:
|
a - 7 = | -
+ 3a | / · 10 |
| 25a - 70 = | -16 + 30a | / -30a + 70 |
| -5a = | 54 | / :(-5) |
| a = | -
 |
Skúška:
Ľ =
· (-
) - 7 = -27 - 7 = - 34
P = -
+ 3 · -
= -
-
= -
= -34
Ľ = P
Teda množina riešení danej rovnice je P = {-
}.
Príklad 5:
Riešte rovnicu
· (6x -
) = 3 - (
x + 2)
Riešenie:
|
· (6x -
) = | 3 - (
x + 2) | |
4x -
 = | 3 -
x - 2 | / · 3 |
| 12x - 1 = | 9 - 2x - 6 | |
| 12x - 1 = | 3 - 2x | / +2x +1 |
| 14x = | 4 | / :14 |
| x = |
 =
 |
Skúška:
Ľ =
· (6 ·
-
) =
-
=
=
P = 3 -
·
- 2 = 1 -
=
=
Ľ = P
Teda množina riešení danej rovnice je P = {
}.
Grafické riešenie lineárnej rovnice:
Grafické riešenie spočíva v tom, že si pomocou ekvivalentných úprav upravíme rovnicu na tvar f1(x)=f2(x) alebo na tvar f(x)=0.
V prvom prípade zostrojíme grafy funkcií f1, f2, kde x-ové súradnice priesečníkov grafov predstavujú približné riešenie danej rovnice závislé od presnosti rysovania.
V druhom prípade zostrojíme graf funkcie f(x) a približným riešením danej rovnice budú priesečníky s osou x.
V prípade lineárnej funkcie je samozrejme jednoduchšie využiť algebraické riešenie.
Prihláste sa na Odber noviniek
Vyhľadať na Pohodovej matematike
Reklama na Pohodovej matematike
Sedací vak SOFA je cool
Citát
Matematika je kráľovnou všetkých vied, teória čísel je kráľovnou matematiky.
Karl Friedrich Gauss
