Pridaj na:
Facebook |
Twitter |
Vybrali.sme
Sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi
Rovnicu tvaru ax + by = c, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 nazývame lineárnou rovnicou s dvoma neznámymi x, y.
Dvojicu čísel x0 a y0 nazývame riešením vyššie uvedenej rovnice, ak platí:
ax0 + by0 = c
Rovnice tvaru
ax + by = c, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0
dx + ey = f, kde d ≠ 0 alebo e ≠ 0
nazývame sústavou dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi x, y.
Dvojicu čísel x0 a y0 nazývame riešením vyššie uvedenej sústavy rovníc, ak platí:
ax0 + by0 = c a zároveň dx0 + ey0 = f
Pri riešení sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi využívame 3 metódy:
- dosadzovaciu (substitučnú) metódu;
- sčítaciu (adičnú) metódu;
- porovnávaciu (komparačnú) metódu.
Dosadzovacia (substitučná) metóda:
Táto metóda spočíva v tom, že z jednej rovnice si vyjadríme jednu neznámu a výraz ktorý takto dostaneme, dosadíme za túto neznámu do druhej rovnice.
Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.
Ukážme si to radšej na jednoduchom príklade.
Príklad 1:
Riešte sústavu rovníc
| 2x - 3y = | 5 | |
| x - 2y = | 1 |
s neznámymi x, y ∈ R.
Riešenie:
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu x:
| 2x - 3y = | 5 | / +3y |
| 2x = | 5 + 3y | /:2 |
| x = |  +  y |
Výraz, ktorý sme získali dosadíme do druhej rovnice za neznámu x:
+ y - 2y = 1
Získali sme lineárnu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime:
| + y - 2y = |
1 | /.2 |
| 5 + 3y - 4y = | 2 | |
| 5 - y = | 2 | /-5 |
| -y = | -3 | /·(-1) |
| y = | 3 |
Získanú neznámu dosadíme do upravenej 1. rovnice a vypočítame neznámu x:
x = + . 3 = + 
= 
= 7
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:
Ľ1 = 2 ∈ 7 - 3 ∈ 3 = 14 - 9 = 5
P1 = 5
Ľ1 = P1
Ľ2 = 7 - 2 ∈ 3 = 1
P2 = 1
Ľ2 = P2
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [x; y] = [7; 3].
Vyskúšate teraz vy? Tak poďme na to!
Príklad 2:
Sčítacia (adičná) metóda:
Táto metóda spočíva v tom, že každú rovnicu po úprave na základný tvar napr. 2x+3y=4 vhodne násobíme tak, aby po sčítaní oboch rovníc jedna neznáma „vypadla“.
Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Pri „čistej“ sčítacej metóde to isté vykonáme i s druhou neznámou. V praxi je často využívaná kombinásia sčítacej a dosadzovacej metódy, čiže jednu neznámu určíme sčítacou metódou a druhú dosadením už známej hodnoty do niektorej z rovníc.
I túto metódu si radšej ukážeme na konkrétnom príklade.
Príklad 3:
Riešte sústavu rovníc
| 2x - 3y = | 5 | |
| x - 2y = | 1 |
s neznámymi x, y ∈ R.
Riešenie:
Chceme určiť napr. neznámu x, teda potrebujeme, aby „vypadla“ neznáma y. Násobíme teda prvú rovnicu číslom -2 a druhú rovnicu číslom 3.
| 2x - 3y = | 5 | / · (-2) |
| x - 2y = | 1 | / · 3 |
| -4x + 6y = | -10 | |
| 3x - 6y = | 3 | |
| Teraz obe rovnice sčítame: | ||
| -4x + 3x + 6y - 6y = | 3 - 10 | |
| -x = | - 7 | / · (-1) |
| x = | 7 | |
Ak chceme kombinovať sčítaciu a dosadzovaciu metódu, tak hodnotu neznámej x, ktorú sme získali, dosadíme napr. do druhej rovnice za neznámu x:
7 - 2y = 1 a z toho y = 3.
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:
Ľ1 = 2 ∈ 7 - 3 ∈ 3 = 14 - 9 = 5
P1 = 5
Ľ1 = P1
Ľ2 = 7 - 2 ∈ 3 = 1
P2 = 1
Ľ2 = P2
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [x; y] = [7; 3].
Vyskúšate si aj sčítaciu metódu?
Príklad 4:
Porovnávacia (komparačná) metóda:
Táto metóda spočíva v tom, že z oboch rovníc si vyjadríme tú istú neznámu.
Získané výrazy porovnáme a tak dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.
Vypočítajme radšej jednoduchý príklad.
Príklad 5:
Riešte sústavu rovníc
| 2x - 3y = | 5 | |
| x - 2y = | 1 |
s neznámymi x, y ∈ R.
Riešenie:
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu x:
| 2x - 3y = | 5 | / +3y |
| 2x = | 5 + 3y | /:2 |
| x = | + y |
Z druhej rovnice si vyjadríme tiež neznámu x:
| x - 2y = | 1 | / +2y |
| x = | 1 + 2y |
Keďže sa rovnajú ľavé strany oboch rovníc, tak sa rovnajú i pravé strany týchto rovníc, takže vytvoríme rovnicu P1=P2, ktorú vyriešime:
| 1 + 2y = | + y |
/ · 2 |
| 2 + 4y = | 5 + 3y | / - 2 - 3y |
| y = | 3 |
Získanú hodnotu premennej y dosadíme napr. do upravenej druhej rovnice:
x = 1 + 2 · 3 = 7
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc podobne ako v príklade 1 a 3.
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [x; y] = [7; 3].
Príklad 6:
Prihláste sa na Odber noviniek
Vyhľadať na Pohodovej matematike
Reklama na Pohodovej matematike
Sedací vak SOFA je cool
Citát
Ak poznáš desať múdrych slov, hovor deväť, jedno si schovaj.
Orientálne príslovie
