Pridaj na:
Facebook |
Twitter |
Vybrali.sme
Sústavy troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi
Rovnicu tvaru ax + by + cz = d, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0 nazývame lineárnou rovnicou s troma neznámymi x, y, z.
Trojicu čísel x0, y0, z0 nazývame riešením vyššie uvedenej rovnice, ak platí:
ax0 + by0 + cz0 = d
Rovnice tvaru
ax + by + cz = d, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0
ex + fy + gz = h, kde e ≠ 0 alebo f ≠ 0 alebo g ≠ 0
ix + jy + kz = l, kde i ≠ 0 alebo j ≠ 0 alebo k ≠ 0
nazývame sústavou troch lineárnych rovníc s troma neznámymi x, y, z.
Trojicu čísel x0, y0, z0 nazývame riešením vyššie uvedenej sústavy rovníc, ak platí:
ax0 + by0 + cz0 = d, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0
ex0 + fy0 + gz0 = h, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0
ix0 + jy0 + kz0 = l, kde a ≠ 0 alebo b ≠ 0 alebo c ≠ 0
Pri riešení sústavy troch rovníc s troma neznámymi najčastejšie využívame:
- Gaussovu eliminačnú metódu;
- Cramerovo pravidlo;
- dosadzovacia metódu.
Gaussovu eliminačnú metóda:
Táto metóda spočíva v postupnej úprave sústavy rovníc na tzv. trojuholníkový tvar, kde v druhej rovnici je eliminovaná prvá neznáma a v tretej rovnici je eliminovaná prvá a druhá neznáma.
Samotný postup riešenia sústavy rovníc pomocou Gaussovej eliminačnej metódy si ukážeme na príklade.
Príklad 1:
Riešte danú sústavu rovníc s neznámymi x, y, z ∈ R:
| 2x - 3y + 2z = | 2 | |
| -x - 4y - 3z = | -18 | |
| 3x + 5y - z = | 10 |
Riešenie:
Kvôli jednoduchšiemu počítaniu sa snažíme mať ako prvú rovnicu tú z troch rovníc, ktorú dokážeme najjednoduchšie upraviť na tvar s koeficientom 1 pred prvou neznámou (prípadne pred inou neznámou a vtedy by sme museli vymeniť poradie neznámych).
V našom prípade si na prvé miesto presunieme 2. rovnicu vynásobenú číslom (-1).
| x + 4y + 3z = | 18 | |
| 2x - 3y + 2z = | 2 | |
| 3x + 5y - z = | 10 |
Prvú rovnicu odpíšeme.(-2)-násobok prvej rovnice pripočítame k druhej rovnici (tým eliminujeme neznámu x v druhej rovnici) a (-3)-násobok prvej rovnice pripočítame k tretej rovnici (tým eliminujeme neznámu x v tretej rovnici).
| x + 4y + 3z = | 18 | |
| - 11y - 4z = | -34 | |
| - 7y - 10z = | -44 |
Prvú rovnicu odpíšeme. Aby sme pred neznámou y dostali v druhej a tretej rovnici navzájom opačné čísla, tak druhú rovnicu násobíme číslom (-7) a tretiu rovnicu číslom 11.
| x + 4y + 3z = | 18 | |
| 77y + 28z = | 238 | |
| - 77y - 110z = | -484 |
1. a 2. rovnicu odpíšeme a 2. rovnicu pripočítame k tretej.
| x + 4y + 3z = | 18 | |
| 77y + 28z = | 238 | |
| - 82z = | -246 | / :(-82) ⇒ z = 3 ... dosadím do druhej rovnice |
|
|
||
| 77y + 28·3 = | 238 | ⇒ y = 2 ... za x, y v 1. rovnici dosadíme vypočítané hodnoty |
|
|
||
| x + 4·2 + 3·3 = | 18 | ⇒ x = 1 |
Skúšku správnosti vykonáme dosadením vypočítaných hodnôt do všetkých troch rovníc.
Riešením danej sústavy rovníc je usporiadaná trojica [x,y,z]=[1, 2, 3].
Príklad 2:
Cramerovo pravidlo:
Táto metóda umožňuje riešiť sústavu n-rovníc s n-neznámymi. Vhodnou metódou na riešenie sústav n-rovníc s n-neznámymi sa javí v prípade, ak n<4. pre n>3 je vhodnejšou metódou Gaussova eliminačná metóda. Cramerovo pravidlo predpokladá znalosť práce s maticami a determinantmi.
Príklad 3:
Riešte danú sústavu rovníc s neznámymi x, y, z ∈ R:
| x - y - 2z = | 2 | |
| 2x + 4y + z = | 1 | |
| 3x - 2y - 3z = | -1 |
Riešenie:
Danú sústavu si zapíšeme v tvare matíc A, B:
Ak determinant matice je nenulový, tak daná sústava má práve jedno riešenie. A ako určíme determinant matice A?
1.4.(-3)
+
(-1).1.3
+
(-2).2.(-2)
–
(-2.4.3 + 1.1.(-2) + (-1).2.(-3))
= 13
Následne určíme determinanty D1, D2, D3 potrebné pre určenie neznámych. Tieto determinanty získame nahradením príslušného stĺpca determinantu
| x + 4y + 3z = | 18 | |
| 2x - 3y + 2z = | 2 | |
| 3x + 5y - z = | 10 |
Prvú rovnicu odpíšeme.(-2)-násobok prvej rovnice pripočítame k druhej rovnici (tým eliminujeme neznámu x v druhej rovnici) a (-3)-násobok prvej rovnice pripočítame k tretej rovnici (tým eliminujeme neznámu x v tretej rovnici).
| x + 4y + 3z = | 18 | |
| - 11y - 4z = | -34 | |
| - 7y - 10z = | -44 |
Prvú rovnicu odpíšeme. Aby sme pred neznámou y dostali v druhej a tretej rovnici navzájom opačné čísla, tak druhú rovnicu násobíme číslom (-7) a tretiu rovnicu číslom 11.
| x + 4y + 3z = | 18 | |
| 77y + 28z = | 238 | |
| - 77y - 110z = | -484 |
1. a 2. rovnicu odpíšeme a 2. rovnicu pripočítame k tretej.
| x + 4y + 3z = | 18 | |
| 77y + 28z = | 238 | |
| - 82z = | -246 | / :(-82) ⇒ z = 3 ... dosadím do druhej rovnice |
|
|
||
| 77y + 28·3 = | 238 | ⇒ y = 2 ... za x, y v 1. rovnici dosadíme vypočítané hodnoty |
|
|
||
| x + 4·2 + 3·3 = | 18 | ⇒ x = 1 |
Skúšku správnosti vykonáme dosadením vypočítaných hodnôt do všetkých troch rovníc.
Riešením danej sústavy rovníc je usporiadaná trojica [x,y,z]=[1, 2, 3].
Príklad 4:
Prihláste sa na Odber noviniek
Vyhľadať na Pohodovej matematike
Reklama na Pohodovej matematike
Sedací vak SOFA je cool
Citát
Hľadaj pravdu v myšlienkach a nie knihách tlejúcich. Ak chceš vidieť mesiac, dívaj sa na oblohu a nie do kaluží.
Perzské príslovie
